第一章 函数 极限 连续

复合函数

条件：外函数定义域与内函数值域交集不为空

反函数

存在反函数条件：对于一个函数，一个y只能有一个唯一对应的x
单调函数一定有反函数 反之不然
arccosx取得是 cosx 定义域 $[0,\pi ]$那一段,因为这一段才能保证唯一对应。而arcsinx与arctanx取的是$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$那一段

奇偶性

求奇偶性 可以用f(-x)+f(x)=0的变形
奇函数 0点处若有定义则f(0)=0

周期性

$\text{若 }f(x)\text{ 以 }T\text{ 为周期，则 }f(ax+b)\text{ 以 }\frac{T}{|a|}\text{ 为周期。}$
推导过程

有界性

无界函数的定义：

p6.例5 利用三角函数周期性消除有界变量的影响

数列极限

• 如果对于任意的$ϵ>0$,总存在正整数N,当n>N时，恒有 $|x_n-a|<ϵ$成立，则称常数a为数列{$x_n$}当n趋于正无穷时的极限，记为$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$
• $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a⟺\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2k-1}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2k}=a$$
• $|x_n|-|a||\mathrm{和}|x_n-a|\mathrm{大}\mathrm{小}\mathrm{比}\mathrm{较}$ -> 绝对值不等式

函数极限

• 自变量趋于无穷大
  对于任意给定的$ϵ>0$,总存在X>0,当|x|>X,时恒有|f(x) - A|<$ϵ$,则称常数A为f(x)当x->$\mathrm{\infty }$时的极限，记为$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$的极限，记为$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$
  做题时$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$分解为$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$和$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$
• 自变量趋于有限值
  对于任意给定的$ϵ>0$,总存在 $\delta >0$,当$0<|x-x_0|<\delta$,恒有|f(x) - A|<$ϵ$,则称常数A为f(x)当x->$x_0$时的极限，记为$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$的极限，记为$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$
  做题时$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$分解为$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$和$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$
• 需要考虑分段的函数

1. 分段函数的分段点（包括带绝对值的函数）
2. $e^{\mathrm{\infty }}$型
3. $arctan\mathrm{\infty }$型、
   p.11例4思路错误,首先把arctan$\mathrm{\infty }$的极限当成了+_1,其次把$1^{\mathrm{\infty }}$的值当成1，错误原因在于$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$是个$1^{\mathrm{\infty }}$型极限，要使用$e^{\underset{x\to 0}{lim}lnf(x)}$计算，或参考p18方法1 2.的结论

极限的性质

与极限相关有界性：
高数#有界性

• 数列：
  如果数列{$x_n$}收敛（有极限），那么数列{$x_n$}一定有界
  反之不成立，如$(-1{)}^n$
• 函数：
  若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$存在，则f(x)在$x_0$某去心邻域有界（局部有界）
  反之不存在，如：$f(x)=\underset{x\to 0}{lim}sin(\frac{1}{x})$
  
  与极限相关保号性：

应用：根据保号性求极值

极限值与无穷小之间关系：

极限的存在准则

夹逼
取整函数基本不等式

单调有界数列必有极限

无穷小量

比较无穷小的时候就要用等价无穷小代换

无穷小性质
有限个无穷小的和（积）仍为无穷小
无穷小量与有界量的积仍为无穷小

无穷大量

定义：

常用比较

• 函数

• 数列

性质：

• 有限个个无穷大量的积仍为无穷大量
• 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量,不要误以为无穷大与有界之积为无穷大
  与无界变量关系：

与无穷小量关系：互为倒数，但f(x)（分母）不能为0
例14

求极限

• 利用基本极限求极限
• 利用等价无穷小代换求极限
  原则：乘除关系可以换，加减关系在一定条件下可以换
  相减时，被替换的被减数和减数不能是同阶无穷小，且比值不能等于1
  相加时，被替换的被减数和减数不能是同阶无穷小，且比值不能等于-1
• 利用有理运算法则求极限
• 利用洛必达法则求极限
  洛必达法则：
  若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0(\mathrm{\infty })$
  $f(x)\mathrm{和}g(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{的}\mathrm{某}\mathrm{去}\mathrm{心}\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{可}\mathrm{导}$
  $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\mathrm{存}\mathrm{在}(\mathrm{或}\mathrm{\infty })$
  则$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
• 使用夹逼准则求极限
• 利用单调有界准则求极限
• 利用定积分定义求极限

无穷小量阶的比较

$1-co{s}^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2$这个公式，可以利用$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$推导，把$co{s}^{\alpha }x$里面的cosx+1-1即可o

函数的连续性

定义理解：函数在一点处的极限值等于函数值，则称函数在这一点连续，区间上每个点都连续称函数在这个区间内连续

间断点及其分类跳跃间断点

定义理解:在一点左右（去心邻域）有定义，在这个点不连续
第一类间断点
左右极限都存在的间断点

• 可去间断点 左右极限相等
• 跳跃间断点 左右极限不等
  第二类间断点
  左右极限至少有一个不存在
• 无穷间断点 左极限或右极限为无穷
• 振荡间断点

连续性的运算与性质

闭区间上连续函数的性质

最值定理：
$\mathrm{设}f(x)\mathrm{在}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{必}\mathrm{有}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{和}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}$
有界性定理：
$\mathrm{设}f(x)\mathrm{在}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{必}\mathrm{有}\mathrm{界}$
介值定理：

推论：$\mathrm{若}f(x)\mathrm{在}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{可}\mathrm{取}\mathrm{到}\mathrm{介}\mathrm{与}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}m\mathrm{与}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}M\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{的}\mathrm{任}\mathrm{何}\mathrm{值}$
零点定理：
$\mathrm{设}(x)\mathrm{在}\mathrm{闭}\mathrm{区}\mathrm{间}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\mathrm{且}f(a)\cdot f(b)<0,\mathrm{则}\mathrm{至}\mathrm{少}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{一}\mathrm{点}，ϵ\in (a,b),\mathrm{使}f(ϵ)=0$
重要应用：证明方程根的存在性？

第二章 导数与微分

导数与微分的概念

导数 定义：设函数f(x)在$x_0\mathrm{的}\mathrm{某}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{定}\mathrm{义}，\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{极}\mathrm{限}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0))}{\mathrm{\Delta }x}$存在,则称f(x)在点$x_0$处可导，并称极限值为f(x)在$x_0$处的导数。 左极限值为左导数，右极限值为右导数 $$可导\iff 左右导数都存在且相等（类比极限）$$
微分 定义：设函数f(x)在点$x_0\mathrm{的}\mathrm{某}\mathrm{一}\mathrm{领}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{定}\mathrm{义}，\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{为}$ $$ \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),(\Delta x \to 0) $$ 其中A为不依赖\Delta x的常数，则称函数f(x)在点$x_0$处可微，称$A\mathrm{\Delta }x$为函数f(x)在点$x_0$处相应于自变量增量$\mathrm{\Delta }x$的微分，记为$dy=A\mathrm{\Delta }x$ 具体理解：

导数与微分的几何意义

法线与切线成90度夹角

微分的几何意义：
微分dy在几何上表示函数切线上的增量
$\mathrm{\Delta }y\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{的}\mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{增}\mathrm{量}$

graph TD
    %% 定义节点
    A[连续] -.不一定.-> B[可导]
    B -->A
    B -.一元函数.-> C[可微]
    C --> B
    A -.不一定.-> C
    C --> A

    %% 调整布局方向为左右循环，形成三角关系
    classDef default fill:#f9f,stroke:#333;
    classDef cond fill:#ccf,stroke:#333;
    classDef smooth fill:#9f9,stroke:#333;
    class A,B,C default
    linkStyle 0 stroke:#333,stroke-width:2px
    linkStyle 1 stroke:#333,stroke-width:2px
    linkStyle 2 stroke:#f00,stroke-width:2px,stroke-dasharray:5,5

$\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{可}\mathrm{导}\nrightarrow \mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{连}\mathrm{续}$
$\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{可}\mathrm{导}\nrightarrow \mathrm{导}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{存}\mathrm{在}$
如$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.& \end{array}$

导数公式及求导公式:
基本初等函数求导公式
$\begin{array}{rlrl}& \left(1\right){\left(C\right)}^{\prime }=0;& & \left(2\right){\left(x^a\right)}^{\prime }=\alpha x^{a-1};\\ & \left(3\right){\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a;& & \left(4\right){\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x\\ & \left(5\right){({\log }_{a}x)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a};& & \left(6\right){(\ln |x|)}^{\prime }=\frac{1}{x};\\ & \left(7\right){(\sin x)}^{\prime }=\cos x;& & \left(8\right){(\cos x)}^{\prime }=-\sin x;\\ & \left(9\right){(\tan x)}^{\prime }={\sec }^{2}x;& & \left(10\right){(\cot x)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x;\\ & & & \left(12\right){(\csc x)}^{\prime }=-\csc x\cot x;\\ & \left(11\right){(\sec x)}^{\prime }=\sec x\tan x;\\ & \left(13\right){(\arcsin x)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};& & \left(14\right){(\arccos x)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}};\\ & \left(15\right){(\arctan x)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2};& & \left(16\right){\left(arccotx\right)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}.\end{array}$
3.利用$e^{lnx}$代换计算后换回来5.使用换底公式求导 7 8利用导数定义求导sin(x+\Delta x)的形式展开后用等价无穷小代换 9. 10. 要用到

(13) 14. 15. 16.使用反函数求导的公式$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$,再利用arc(arcsinx)=sinx arc(arcosx)=cosx arc(arctanx)=tanx arc(arccotx)=cotx
求导法则

• 有理运算法则
• 复合函数求导
• 隐函数求导法
• 反函数的导数
• 参数方程求导法 （利用反函数的导数结论推导）
• 对数求导法

高阶导数
常用公式

• $(sinx{)}^{(n)}=sin(x+n\cdot \frac{\pi }{2})$
• $(cosx{)}^{(n)}=cos(x+n\cdot \frac{\pi }{2})$
• $(u+v{)}^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)}$
• $(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$

充分必要
$A⟹B$ ,则A是B的充分条件，B是A的必要条件

微分中值定理

费马引理

极值点处可导且导数值为0，反例f(x)=|x|

罗尔定理

闭区间连续 开区间可导 区间端点处函数值相等
-> 开区间内必有一点导数值为0

拉格朗日中值定理

闭区间连续 开区间可导
-> 开区间内必有一点的切线与两端点的连线平行

柯西中值定理

f(X) F(X) 闭区间连续 开区间可导
F‘(x)在开区间内处处不为0 （保证分母不为零）

对参数方程g(x) y=f(t) x=F(t)
参数方程在开区间内必有一点的切线与两端点的连续平行

泰勒公式

【【官方双语】微积分的本质 - 10 - 泰勒级数-哔哩哔哩】 https://b23.tv/Ln1UwWU

导数应用

单调性

极值
求极值：找驻点和导数不存在的点
两个充分一个必要条件：？
导数为0的点称为函数的驻点
最值
求闭区间内最值：找极值，找端点值，比较大小
若有唯一极值点，就是最值点，不用与端点值比较

凹凸性
函数在区间上连续，区间内任意两点的连线的中点，大于在这个两点横坐标中点的函数值，则称图形在区间内是凹的，反之是凸的
凹与凸的分界点称为拐点。它是点的坐标（$x,f(x_0)$）,而不是这一点的横坐标$x_0$

拐点
拐点的两个充分一个必要条件就是把极值的向上升一阶
？

渐近线

• 水平渐近线
• 垂直渐近线
• 斜渐近线
  水平渐近线和斜渐近线在$+\mathrm{\infty }$一侧或$-\mathrm{\infty }$一侧不可能同时存在

曲线的弧微分与曲率
弧微分

曲率

曲率半径